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Coi Principia Matematica, scritti tra il 1910 ed il 1913, Bertrand Russel e Alfred North Whitehead risolsero il dibattito che coinvolgeva dai tempi di Newton l'intera comunità scientifica: individuarono gli enti primitivi indimostrabili costituenti il punto di partenza della matematica stessa, assimilando gli assiomi della logica e della matematica a leggi di natura.
La logica si manifestò come evidenza di una pura percezione sensoriale.
Nel 1931 il teorema di Gödel compare come la Proposizione VI del suo scritto: Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e di sistemi affini.
Gödel pubblicò il suo articolo demolendo la speranza che fosse possibile trovare una dimostrazione della coerenza o della completezza che dipendesse soltanto da metodi finitistici di ragionamento, rivelando la presenza di buchi irreparabili nel sistema assiomatico di Russel e Whitehead, evidenziando che vi sono enunciati veri dell'aritmetica che i metodi di dimostrazione del sistema sono troppo deboli per dimostrare.
Inoltre, con l'espressione "e sistemi affini" Gödel indicava che la sua dimostrazione riguardava qualsiasi sistema assiomatico, come dire che, più in generale, non esiste alcun sistema assiomatico in grado di produrre tutte le verità aritmetiche, a meno che il sistema in questione non sia incoerente.
In breve, Gödel metteva in evidenza che la dimostrabilità è una nozione più debole della verità.